תאמל״ק לי
מאז יוון העתיקה, חוקרים ניסו לבודד נקודות רציונליות מיוחדות על גבי עקומים. • כעת, חוקרים לראשונה הציגו נוסחה אחידה שתקפה לכל העקומים.
מתמטיקאים ביצעו לאחרונה קפיצת מדרגה משמעותית באחת הבעיות האהובות ביותר בתולדות התחום. את המחקר הם פרסמו באתר arxiv.org.
עקומים (Curves)
קווים פתלתלים במרחב, כמו מסלולו של שביט או מגמה בבורסה. הם מהאובייקטים הפשוטים ביותר במתמטיקה. אך למרות שהם נחקרים כבר אלפי שנים, שאלות בסיסיות לגביהם נותרו ללא מענה.
רקע
תאורטיקנים של מספרים חיפשו במיוחד נקודות מיוחדות על עקומים, שקואורדינטות ה־x וה־y שלהן הן מספרים שלמים או שברים (מספרים רציונליים). נקודות נדירות אלו קשורות לעיתים קרובות זו לזו בדרכים מורכבות ומשמעותיות.
"אנחנו מתמטיקאים, וחשוב לנו המבנה," אומר בארי מאזור, פרופסור באוניברסיטת הרווארד. המבנה הזה יכול להיות שימושי; הנקודות הרציונליות על מה שמכונה "עקומים אליפטיים", למשל, הולידו ענף שלם של קריפטוגרפיה (תורת ההצפנה).
אולם קיים מגוון עצום של עקומים, המורכב ממשפחות אינסופיות רבות, ולכל אחת מבנה משלה של נקודות רציונליות. תאורטיקנים של מספרים חלמו למצוא כלל מתמטי קונקרטי שחל על כל עקום, אך נוסחה "חד-צדדית" שכזו חמקה מהם זמן רב. זה השתנה לפני מספר שבועות. במאמר שהתפרסם ב-2 בפברואר 2026, שלושה מתמטיקאים סינים הציבו לראשונה חסם עליון קשיח למספר הנקודות הרציונליות שיכולות להיות לכל עקום שהוא. ההשלכות המתמטיות הן חסרות גבולות.
"זוהי באמת תוצאה מדהימה שקובעת סטנדרט חדש למה שניתן לצפות לו," אומר הקטור פסטן, מתמטיקאי מהאוניברסיטה הקתולית הפונטיפיקלית של צ'ילה, שלא היה מעורב במחקר.
סופי או אינסופי?
עקומים מיוצגים מתמטית על ידי משוואות פשוטות הנקראות פולינומים. אלו הם בעצם קומץ משתנים המוכפלים ומחוברים זה לזה.
חשבו על המשוואה x² + y² = 1. אם x ו-y הם שני הצירים של מישור קואורדינטות, המשוואה הזו מייצגת מעגל. כל נקודה על המעגל מתאימה לפתרון אחר של המשוואה. לדוגמה, הנקודה x = 1 ו-y = 0, הנכתבת כצמד הקואורדינטות (1, 0), נמצאת על המעגל: אם תציבו את הערכים האלה במשוואה, תקבלו 1 = 1, וזהו פתרון תקף.
חלק מהפתרונות, כולל (1, 0) ו-⅗, ⅘, הם "רציונליים", כלומר גם x וגם y הם מספרים שלמים או יחסים בין מספרים שלמים. פתרונות אחרים, כמו , הם "אי-רציונליים". אם תציבו את הערכים האלה תקבלו פתרון תקף והקואורדינטות ינחתו בדיוק על המעגל, אך לעולם לא תוכלו לבטא אותם במונחים של מספרים שלמים והיחסים ביניהם.
מתמטיקאים ביוון העתיקה היו אובססיביים למציאת נקודות רציונליות לאורך עקומים. הם תהו כמה נקודות מיוחדות כאלה יש לעקום נתון. זוהי אחת השאלות הפשוטות ביותר במתמטיקה, אך היא הטרידה מתמטיקאים במשך אלפי שנים. "הבעיות האלה נמצאות בלב תורת המספרים," אומר שנגשואן ג'ואו מהמכון למתמטיקה בטולוז, ששותף לכתיבת התוצאה החדשה.
למעגל (כסוג מסוים של עקום) יש אינסוף נקודות רציונליות. הדבר נכון לכל עקום אחר שבו לא x ולא y מועלים בחזקה גדולה מ-2. למשוואות אלו מ"מעלה 2" תמיד אין נקודות רציונליות כלל, או שיש להן אינסוף. מספר הנקודות הרציונליות בעקום ממעלה אחת גבוהה יותר, מעלה 3, הוא לעיתים אינסופי ולעיתים סופי.
אך ב־1922, לואי מורדל העלה השערה מפורסמת שסימנה כי המצב משתנה באופן חד במשוואות ממעלה גבוהה יותר. הוא טען שכאשר מעלת העקום היא 4 ומעלה, תמיד יהיה מספר סופי של נקודות רציונליות.
61 שנים מאוחר יותר, גרד פאלטינגס הוכיח שמורדל צדק; הוא זכה על כך במדליית פילדס, הכבוד הגבוה ביותר במתמטיקה. אך השערת מורדל, המכונה כיום "משפט פאלטינגס", אינה אומרת דבר על כמה נקודות יש לעקומים האלה.
כלל לכל עקום
כאן נכנסת ההוכחה החדשה. מחבריה מציגים נוסחה שניתן ליישם על כל עקום ביקום המתמטי, ללא קשר למעלתו. היא אמנם לא מציינת בדיוק כמה נקודות רציונליות יש לעקום, אך היא מספקת חסם עליון למספר המקסימלי שלהן.
נוסחאות קודמות מסוג זה או שלא היו ישימות לכל העקומים, או שהיו תלויות במשוואה הספציפית שהגדירה אותם. הנוסחה החדשה היא משהו שמתמטיקאים קיוו לו מאז ההוכחה של פאלטינגס: קביעה "אחידה" החלה על כל העקומים מבלי להיות תלויה במקדמים של המשוואות שלהם. "הצהרה אחת זו מעניקה לנו הבנה רחבת היקף," אומר מאזור.
- היא תלויה בשני דברים בלבד:
מעלת הפולינום שמגדיר את העקום – ככל שהמעלה גבוהה יותר, הקביעה הופכת ל"חלשה" יותר (החסם גבוה יותר). - יריעת יעקובי (Jacobian variety) – משטח מיוחד שניתן לבנות מכל עקום. יריעות יעקובי מעניינות כשלעצמן והנוסחה מציעה נתיב מסקרן למחקר.
יריעת יעקובי (Jacobian Variety)
מושג מופשט יותר, אבל אפשר לחשוב עליו כעל "מחסן המידע" של העקום. ככל שמעלת העקום עולה, הוא הופך למורכב יותר. בעוד שבעקום אליפטי (מעלה 3) הנקודות עצמן יוצרות מבנה מסודר, בעקומים ממעלה גבוהה יותר זה כבר לא קורה בקלות כזו.
אז מה עושים? המתמטיקאים בונים סביב העקום אובייקט רב-ממדי (היריעה). אם העקום הוא קו פתלתל, יריעת יעקובי היא סוג של "טורוס" (צורה של דונאט) רב-ממדי. הרצועה מאגדת את כל המידע על הנקודות של העקום המקורי בתוך מבנה גיאומטרי נוח יותר למחקר.
הנוסחה החדשה משתמשת בתכונות של יריעת היעקובי כדי לקבוע כמה נקודות רציונליות יכולות להיות על העקום המקורי. זהו "גשר" שמאפשר לפתור בעיות על קווים פשוטים דרך הסתכלות על גופים מורכבים בממדים גבוהים.
יריעת יעקובי היא כלי עבודה מתקדם שמאפשר לנו להבין עקומים מכל מעלה שהיא על ידי הפיכתם לצורות גיאומטריות מורכבות יותר.
התוצאה החדשה היא צעד ראשון לקראת הידיעה כמה נקודות יש לעקומים, ולא רק האם מספרן סופי או אינסופי. "יש שאלות נוספות באופק," אומר פסטן. "אנחנו יכולים להפוך לשאפתניים יותר עכשיו."
עקומים הם גם רק דריסת הרגל הראשונה בעולם המתמטי של צורות המוגדרות על ידי משוואות. משוואות פולינומיות עם משתנים נוספים מעבר ל-x ו-y יכולות ליצור אובייקטים מורכבים יותר, כמו משטחים או מקביליהם בממדים גבוהים יותר הנקראים "יריעות" (Manifolds). יריעות הן מרכזיות למתמטיקה המודרנית וגם לפיזיקה תאורטית, שם הן משמשות למיפוי המרחב והזמן.
כל השאלות הללו על נקודות רציונליות חשובות גם עבור האובייקטים הרב-ממדיים הללו. התגלית הנוכחית היא אחת מתוך כמה תוצאות חדשות לאחרונה בנושא. יחד, גל המחקר הזה עשוי לסמן פרק חדש בסאגה בת אלפי השנים הזו.
"זהו תחום מרגש שמתקדם במהירות," אומר מאזור. "משהו גדול קורה ממש עכשיו."
עקומים אליפטיים (Elliptic Curves)
למרות השם, הם לא נראים כמו אליפסה (שהיא עקום ממעלה 2). עקום אליפטי הוא עקום המוגדר על ידי משוואה ממעלה 3, לרוב מהצורה: 
למה הם כל כך חשובים? לעקומים אליפטיים יש תכונה מופלאה: אם ניקח שתי נקודות רציונליות על העקום ונעביר ביניהן קו ישר, הקו הזה יחתוך את העקום בנקודה שלישית, שגם היא תהיה רציונלית. זה מאפשר "לחבר" נקודות וליצור מבנה אלגברי מסודר הנקרא "חבורה".
בזכות המבנה הזה, משתמשים בהם לאבטחת המידע הרגיש ביותר בעולם (בווטסאפ, בביטקוין ובחתימות דיגיטליות). קשה מאוד למתמטיקאים ולמחשבים "לפרק" את החיבור של הנקודות הללו לאחור, מה שהופך את ההצפנה לחזקה במיוחד.
עקום אליפטי הוא ה"כוכב" של עולם המעלה השלישית והוא חיוני לחיי היומיום שלנו דרך עולם הקריפטוגרפיה.
העקומים הללו היו המפתח להוכחת המשפט האחרון של פרמה ב-1994 על ידי אנדרו ויילס…
הנוסחה
הנוסחה עצמה היא טכנית מאוד ומופיעה במאמר המדעי המקורי (שהתפרסם כפרה-פרינט ב-arXiv בפברואר 2024).המתמטיקאים שעומדים מאחורי פריצת הדרך הם ג'יאוויי יו (Jiawei Yu), שיניי יואן (Xinyi Yuan) ו-שנגשואן ג'ואו (Shengxuan Zhou).
במקום נוסחה קצרה כמו E=mc^2, מדובר בחסם עליון (Upper Bound). "הנוסחה" כפי שהיא מופיעה במחקר במונחים מתמטיים:
עבור עקום C בעל "גנוס" (Genus) g (מדד למורכבות העקום) מעל שדה מספרים K, מספר הנקודות הרציונליות חסום על ידי:
- הנוסחה לא אומרת "יש בדיוק 5 נקודות", אלא אומרת "לא יכולות להיות יותר מ-X נקודות". החלק המדהים הוא שה-X הזה תלוי רק בנתונים בסיסיים:
- הגנוס (g): כמה "חורים" או פיתולים יש לצורה הגיאומטרית של העקום.
- הדרגה של שדה המספרים: קשור למורכבות של המספרים שבהם משתמשים.
- הדרגה (Rank) של יריעת היעקובי (r): המבנה הרב-ממדי שהוזכר קודם.
עד היום, החסמים שהיו למתמטיקאים היו תלויים במקדמים הספציפיים של המשוואה (למשל, אם המשוואה היא 
אז החסם היה משתנה אם היינו מחליפים את 15 ו-42. הנוסחה החדשה מתעלמת מהמספרים האלו וקובעת כלל שחל על כל העקומים מאותו סוג, מה שמאפשר הבנה עמוקה הרבה יותר של ה"מפה" המתמטית כולה.
התגלית המרעישה של המתמטיקאים ג'יאוויי יו, שיניי יואן ושנגשואן ג'ואו מסמנת את סיומו של מרדף שהחל עוד ביוון העתיקה. על ידי הצבת חסם עליון "אחיד" למספר הנקודות הרציונליות על עקומים, הצליחו החוקרים למצוא סדר מתמטי במקום שבו נדמה היה שכל משוואה מתנהגת לפי חוקים משלה. פריצת דרך זו לא רק פותרת שאלות עתיקות יומין על הקשר בין גיאומטריה למספרים, אלא גם מעניקה כלים חדשים להבנת יריעות מורכבות בממדים גבוהים, המהוות את התשתית לפיזיקה המודרנית ולעולם ההצפנה הדיגיטלי.
