אוקלידס: אבי הגאומטריה 

האם ייתכן שספר בן למעלה מאלפיים שנה הוא עדיין אחד הכתבים המצוטטים, המתורגמים והנלמדים ביותר בהיסטוריה המערבית, שני רק לתנ"ך? הכירו את אוקלידס , המתמטיקאי היווני הקדום שפעל בסביבות 300 לפנה"ס באלכסנדריה ואת יצירתו המכוננת, "היסודות". איש המסתורין הזה, המכונה בצדק "אבי הגאומטריה", לא רק סינתז ידע מתמטי קודם אלא גם הניח את היסודות לשיטה האקסיומטית והלוגית ששלטה בתחום למעלה מאלף וחמש מאות שנים. מי היה האיש הנערץ הזה, ומדוע שיטתו (המכונה כיום הגאומטריה האוקלידית) עדיין חיונית להבנת העולם? מסע אל נבכי חייו ויצירתו של אחד האישים המשפיעים ביותר בתולדות המדע.

רקע

א֥וֹקְלִידֶס (ביוונית עתיקה: Εὐκλείδης; פעל בסביבות 300 לפנה"ס) היה מתמטיקאי יווני קדום שנחשב ל"אבי הגאומטריה" ונודע בעיקר בזכות החיבור שלו, "היסודות". החיבור ביסס את יסודות הגאומטריה ששלטו בתחום במידה רבה עד תחילת המאה ה-19. השיטה שלו, המכונה כיום הגאומטריה האוקלידית, כללה חידושים לצד סינתזה של תיאוריות ממתמטיקאים יוונים קדומים יותר, ביניהם אודוקסוס מקנידוס, היפוקרטס מכיוס, תאלס ותאייטטוס. יחד עם ארכימדס ואפולוניוס מפרגה, אוקלידס נחשב בדרך כלל לאחד מגדולי המתמטיקאים של העת העתיקה, ואחד המשפיעים ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה.

מעט מאוד ידוע על חייו של אוקלידס, ומרבית המידע מגיע מהחוקרים פרוקלוס ופאפוס מאלכסנדריה, מאות רבות לאחר מותו. מתמטיקאים מוסלמיים בימי הביניים המציאו ביוגרפיה דמיונית, וחוקרים ביזנטיים מהימי הביניים ובתקופת הרנסאנס המוקדמת טעו לחשוב שהוא הפילוסוף המוקדם יותר אוקלידס ממגרה. כיום מקובל לרוב שהוא בילה את הקריירה שלו באלכסנדריה וחי בסביבות 300 לפנה"ס, אחרי תלמידיו של אפלטון ולפני ארכימדס. ישנן השערות לפיהן אוקלידס למד באקדמיה האפלטונית ומאוחר יותר לימד במוזאיון; הוא נחשב לגשר בין המסורת האפלטונית המוקדמת באתונה לבין המסורת המאוחרת של אלכסנדריה.

ב"יסודות", אוקלידס הסיק את המשפטים מתוך סט קטן של אקסיומות. הוא גם כתב יצירות בנושא פרספקטיבה, חתכי חרוט, גאומטריה ותורת המספרים. בנוסף ל"יסודות", אוקלידס כתב טקסט מוקדם מרכזי בתחום האופטיקה, "אופטיקה", ועבודות פחות מוכרות, כולל "נתונים" ו"תופעה" (Phaenomena). יש שייחסו לו את כתיבת "על חלוקות צורות" ו"קטופטריקה" אך ההיסטוריונים חולקים על כך ומשערים שהוא כתב עבודות רבות שאבדו במרוצת השנים.

חייו

השם היווני העתיק אוקליידס (Εὐκλείδης) נגזר מ-'eu-' (εὖ; 'טוב') ו-'klês' (-κλῆς; 'תהילה'), ומשמעותו "מפורסם, מפואר". באנגלית, במטונימיה, 'אוקלידס' יכול להתייחס ליצירתו הידועה ביותר, "יסודות אוקלידס", או עותק שלה ולעיתים שמו הוא שם נרדף ל'גאומטריה'.

כמו לגבי מתמטיקאים יוונים קדומים רבים, פרטי חייו של אוקלידס אינם ידועים ברובם. מקובל לשער כי היה מחברם של ארבעה חיבורים ששרדו ברובם: "היסודות", "אופטיקה", "נתונים", "תופעה", אך מלבד זאת, אין שום דבר ידוע בוודאות עליו. הנרטיב המסורתי מסתמך על התיאור של פרוקלוס מהמאה החמישית לספירה ב"פרשנותו על הספר הראשון של יסודות אוקלידס", כמו גם כמה אנקדוטות מפאפוס מאלכסנדריה בתחילת המאה הרביעית.

לפי פרוקלוס, אוקלידס חי זמן קצר לאחר אפלטון (שמת ב-347 לפנה"ס) ולפני המתמטיקאי ארכימדס (בסביבות 287 עד 212 לפנה"ס); פרוקלוס מיקם את אוקלידס בתקופת שלטונו של תלמי הראשון (ששלט ב-305/304–282 לפנה"ס). תאריך לידתו המדויק של אוקלידס אינו ידוע; חוקרים מסוימים מעריכים שהוא נולד בסביבות 330 או 325 לפנה"ס, אך אחרים נמנעים מלשער. ההנחה היא שהיה ממוצא יווני, אך לא ידוע היכן נולד. פרוקלוס (נאו-אפלטוני) סבר שאוקלידס הלך בעקבות המסורת האפלטונית, אך אין אישור סופי לכך. לא סביר שהוא היה בן זמנו של אפלטון, ולכן משערים לעיתים קרובות שהוא התחנך על ידי תלמידיו של אפלטון באקדמיה האפלטונית באתונה. ההיסטוריון תומס הית' תמך בתיאוריה זו, בציינו שרוב המתמטיקאים המוכשרים חיו באתונה, כולל רבים מאלה שעבודתם שימשה בסיס לאוקלידס; ההיסטוריון מיכאליס סיאלרוס מחשיב זאת כהשערה בלבד. בכל מקרה, תוכן עבודתו של אוקלידס מדגים את היכרותו עם מסורת הגאומטריה האפלטונית.

ב"אוסף" שלו, פאפוס מזכיר שאפולוניוס למד אצל תלמידיו של אוקלידס באלכסנדריה, וזאת נתפסה כרמיזה שאוקלידס עבד וייסד שם מסורת מתמטית. העיר נוסדה על ידי אלכסנדר הגדול בשנת 331 לפנה"ס, ושלטונו של תלמי הראשון משנת 306 לפנה"ס ואילך העניק לה יציבות שהייתה ייחודית יחסית בתוך המלחמות הכאוטיות על חלוקת האימפריה של אלכסנדר. תלמי החל בתהליך של הֶלֶנִיזַצְיָה והזמין בניית מבנים רבים ברוח יוון ובנה את מוסד המוזאיון העצום, שהיה מרכז חינוכי מוביל. משערים שאוקלידס היה בין החוקרים הראשונים במוזאיון. השערות שונות מסיקות כי אוקלידס מת בסביבות 270 לפנה"ס, אך אין סימוכין לכך.

״אין דרך מלך לגאומטריה.״

אוקלידס

מקורות

אוקלידס מכונה לעיתים קרובות 'אוקלידס מאלכסנדריה' על מנת להבדילו מהפילוסוף המוקדם יותר אוקלידס ממגרה, שהיה תלמיד של סוקרטס ומכלל ב״דיאלוגים״ של אפלטון. ואלריוס מקסימוס, האספן הרומי של אנקדוטות מהמאה הראשונה לספירה, החליף בטעות את שמו של אוקלידס בשמו של אודוקסוס (מהמאה הרביעית לפנה"ס) כמתמטיקאי שאליו שלח אפלטון את אלה ששאלו כיצד להכפיל את הקובייה. אולי על בסיס אזכור זה של אוקלידס המתמטיקאי כ-100 שנה קודם לכן, אוקלידס התערבב עם אוקלידס ממגרה במקורות ביזנטיים מימי הביניים (שאבדו מאז), מה שבסופו של דבר הוביל לכך שלאוקלידס המתמטיקאי יוחס לו פרטים ביוגרפיים של שני הגברים ותואר כמי שמוצאו ממגרה. המלומד הביזנטי תיאודור מטוכיטס (שחי בסביבות 1300) ערבב במפורש את שני האוקלידסים, וכך גם המהדורה הראשונה משנת 1482 של המדפיס ארהרד רטדולט, של התרגום הלטיני של קמפנוס מנוברה ל"יסודות".

רק לאחר שהמתמטיקאי ברתולומיאו זמברטי הוסיף את רוב הקטעים הביוגרפיים הקיימים על כל אחד מהאוקלידסים להקדמה לתרגומו שלו ל"יסודות" משנת 1505, פרסומים מאוחרים יותר הלכו בעקבותיו. בלבול נוסף, המציין את מקום הולדתו של אוקלידס כגלה, סיציליה, נובע מהעובדה שלעיתים נאמר שאוקלידס ממגרה נולד בגלה. חוקרי רנסאנס מאוחרים יותר, במיוחד פיטר ראמוס, העריכו מחדש טענה זו והוכיחו שהיא שקרית בשל בעיות בכרונולוגיה וסתירה במקורות המוקדמים.

עם זאת, מקורות ערביים מימי הביניים מספקים כמות עצומה של מידע הנוגע לחייו של אוקלידס, אך הוא בלתי ניתן לאימות לחלוטין. נטען כי אוקלידס, שהיה כביכול יווני יליד צור שהתגורר בדמשק, היה בנו של נוקראטס. רוב החוקרים רואים במקורות הללו כבעלי אותנטיות מפוקפקת. הסיבה היא שכתבים אלה ניסו לחזק את הקשר בין המתמטיקאי הנערץ לעולם הערבי. ישנם גם סיפורי אנקדוטה רבים הנוגעים לאוקלידס, שכולם בעלי רקע לא ברור, אשר "מציירים אותו כאיש זקן אדיב ועדין". המפורסמת ביותר מבין אלה היא סיפורו של פרוקלוס על תלמי ששאל את אוקלידס אם יש דרך מהירה יותר ללמוד גאומטריה מאשר לקרוא את "היסודות" שלו, ואוקלידס השיב לו כי "אין דרך מלך לגאומטריה". אנקדוטה זו מוטלת בספק מכיוון שיחסים דומים מאוד בין מנכמוס לאלכסנדר הגדול מתועדת על ידי סטובאיוס. שני התיאורים נכתבו במאה החמישית לספירה, אף אחד מהם לא מציין את המקור ואף אחד מהם לא מופיע בספרות היוונית העתיקה.

כל תיארוך ודאי של פעילותו של אוקלידס בסביבות 300 לפנה"ס מוטל בספק בשל היעדר אזכורים מתקופתו. האזכור המקורי המוקדם ביותר לאוקלידס הוא במכתב הפתיחה של אפולוניוס ל"חתכי חרוט" (תחילת המאה השנייה לפנה"ס): "הספר השלישי של 'חתכי חרוט' מכיל משפטים מדהימים רבים המועילים הן לסינתזות והן לקביעות מספר הפתרונות של המקומות הגיאומטריים המוצקים. רובם, והטובים שבהם, הם חדשים. וכשגילינו אותם הבנו שאוקלידס לא עשה את הסינתזה של המקום הגיאומטרי על שלושה וארבעה קווים אלא רק קטע מקרי ממנו, ואפילו זה לא נעשה בהצלחה".

משערים כי "היסודות" היה לפחות בחלקו בתפוצה עד המאה השלישית לפנה"ס, שכן ארכימדס ואפולוניוס מניחים כמה מההצעות שלו כמובנות מאליהן; עם זאת, ארכימדס משתמש בגרסה ישנה יותר של תורת הפרופורציות מהדרסה שנמצאת ב"יסודות". העותקים הפיזיים העתיקים ביותר של חומר הכלול ב"יסודות", המתוארכים לשנת 100 לספירה, נמצאו על שברי פפירוס שנחשפו בערימת אשפה עתיקה מאוקסירינכוס. על כל פנים, הציטוטים הישירים העתיקים ביותר הקיימים של "היסודות" בעבודות שתאריכי פרסומם ידועים בוודאות אינם מופיעים עד המאה השנייה לספירה, על ידי גלנוס ואלכסנדר מאפרודיסיאס; עד אז זה היה טקסט בית ספרי סטנדרטי. כמה מתמטיקאים יוונים קדומים מזכירים את אוקלידס בשמו, אך בדרך כלל מתייחסים אליו כאל "ὁ στοιχειώτης" ("מחבר היסודות"). בימי הביניים, טענו כמה חוקרים שאוקלידס אינו דמות היסטורית וששמו נובע משיבוש של מונחים מתמטיים יווניים.

"היסודות"

אוקלידס נודע בעיקר בזכות החיבור שלו בן שלושה עשר הספרים, "היסודות" (ביוונית עתיקה: Στοιχεῖα; סטויכֵייא), הנחשב ליצירת המופת שלו. רוב תוכנו מקורו במתמטיקאים קודמים, כולל אודוקסוס, היפוקרטס מכיוס, תאלס ותאייטטוס, בעוד שמשפטים אחרים מוזכרים על ידי אפלטון ואריסטו. קשה להבדיל בין עבודתו של אוקלידס לזו של קודמיו, במיוחד מכיוון ש"היסודות" החליף במהותו חלק גדול מהמתמטיקה היוונית המוקדמת יותר שאבדה כעת. הקלסיקאי מרקוס אספר מגיע למסקנה ש"ככל הנראה הישגו של אוקלידס מורכב מאיסוף ידע מתמטי מקובל לסדר קוהרנטי והוספת הוכחות חדשות כדי למלא את הפערים", וההיסטוריונית סרפינה קואומו תיארה אותו כ"מאגר של תוצאות".

"היסודות" אינו דן רק בגאומטריה כפי שלעיתים מאמינים. הוא מחולק באופן מסורתי לשלושה נושאים: גאומטריית המישור (ספרים 1–6), תורת המספרים הבסיסית (ספרים 7–10) וגאומטריה מרחבית (ספרים 11–13) – אם כי ספר 5 (על פרופורציות) וספר 10 (על קווים אי-רציונליים) אינם מתאימים בדיוק לתכנית זו. לב הטקסט הוא המשפטים הפזורים לאורכו. בשימוש בטרמינולוגיה של אריסטו, ניתן להפריד אותם באופן כללי לשתי קטגוריות: "עקרונות ראשונים" ו"עקרונות שניים". הקבוצה הראשונה כוללת טענות המסומנות כ"הגדרה" (ὅρος או ὁρισμός), "מוסכמה" (αἴτημα), או "מושג משותף" (κοινὴ ἔννοια); רק הספר הראשון כולל מוסכמות – שנודעו מאוחר יותר כאקסיומות – ומושגים משותפים. הקבוצה השנייה מורכבת מהצעות, המוצגות לצד הוכחות מתמטיות ודיאגרמות. לא ידוע אם אוקלידס התכוון ל"יסודות" כספר לימוד, אך שיטת הצגתו הופכת אותו למתאים באופן טבעי. באופן כללי, הקול המחבר נשאר כללי ובלתי אישי.

תוכן

המוסכמות והמושגים המשותפים של אוקלידס

ספר 1 של "היסודות" הוא יסודי לכלל הטקסט. הוא מתחיל בסדרה של 20 הגדרות למושגים גאומטריים בסיסיים כגון קווים, זוויות ומצולעים משוכללים שונים. לאחר מכן אוקלידס מציג 10 הנחות, המקובצות לחמש מוסכמות (אקסיומות) וחמישה מושגים משותפים. הנחות אלו נועדו לספק את הבסיס הלוגי לכל משפט שלאחר מכן, כלומר לשמש כמערכת אקסיומטית. המושגים המשותפים נוגעים אך ורק להשוואה של גדלים. בעוד שמוסכמות 1 עד 4 הן פשוטות יחסית, מוסכמה 5 ידועה בתור האקסיומה המקבילה והיא מפורסמת במיוחד. ספר 1 כולל גם 48 הצעות, שניתן לחלק באופן רופף לאלה שנוגעות למשפטים בסיסיים ובניות של גאומטריית המישור וחפיפת משולשים (1–26); קווים מקבילים (27–34); שטח משולשים ומקביליות (35–45) ומשפט פיתגורס (46–48). האחרון שבהם כולל את ההוכחה המוקדמת ביותר ששרדה למשפט פיתגורס, המתוארת על ידי סיאלרוס כ"עדינה במיוחד".

ספר 2 מובן באופן מסורתי כנוגע ל"אלגברה גאומטרית", אם כי פרשנות זו נתונה במחלוקת מאז שנות ה-70; המבקרים מתארים את האפיון כאנכרוניסטי, שכן יסודות האלגברה אפילו בראשיתה התרחשו מאות רבות לאחר מכן. הספר השני בעל היקף ממוקד יותר ומספק בעיקר משפטים אלגבריים הנלווים לצורות גאומטריות שונות. הוא מתמקד בשטח מלבנים וריבועים ומוביל למבשר גאומטרי של משפט הקוסינוסים. ספר 3 מתמקד במעגלים, ואילו ספר 4 דן במצולעים משוכללים, במיוחד המחומש. ספר 5 הוא בין החלקים החשובים ביותר ומציג את מה שבדרך כלל מכונה "התיאוריה הכללית של פרופורציה". ספר 6 משתמש ב"תורת היחסים" בהקשר של גאומטריית המישור. הוא בנוי כמעט כולו על ההצעה הראשונה שלו: "משולשים ומקביליות שנמצאים תחת אותו גובה הם זה לזה כמו הבסיסים שלהם".

במספר 7 ואילך, אוקלידס מתחיל מחדש, כשתורת המספרים מכוסה בספרים 7 עד 10, כשהראשון מתחיל עם סט של 22 הגדרות לזוגיות, מספרים ראשוניים ומושגים נוספים הקשורים לאריתמטיקה. ספר 7 כולל את האלגוריתם האוקלידי, שיטה למציאת המחלק המשותף הגדול ביותר של שני מספרים. הספר ה-8 דן בהתקדמות גאומטרית, ואילו ספר 9 כולל את ההצעה, המכונה כעת משפט אוקלידס, שלפיו יש אינסוף מספרים ראשוניים. מבין "היסודות", ספר 10 הוא ללא ספק הגדול והמורכב ביותר, ועוסק במספרים אי-רציונליים בהקשר של גדלים.

שלושת הספרים האחרונים (11–13) דנים בעיקר בגאומטריה מרחבית. על ידי הצגת רשימה של 37 הגדרות, ספר 11 ממקם את שני הבאים בהקשר. למרות אופיו היסודי המזכיר את ספר 1, בניגוד לאחרון הוא אינו כולל מערכת אקסיומטית או מוסכמות. שלושת החלקים של ספר 11 כוללים תוכן על גאומטריה מרחבית (1–19), זוויות מרחביות (20–23) וגופים מקבילונים (24–37).

יצירות אחרות

בנוסף ל"יסודות", לפחות חמש עבודות של אוקלידס שרדו עד היום. הן בנויות מאותו מבנה לוגי כמו "היסודות", עם הגדרות והצעות מוכחות.

• קטופטריקה (Catoptrics) עוסקת בתיאוריה המתמטית של מראות, במיוחד בתמונות הנוצרות במראות מישוריות וכדוריות קעורות, אם כי הייחוס מוטל לעיתים בספק.
• הנתונים (Δεδομένα) הוא טקסט קצר יחסית העוסק באופי ובהשלכות של מידע "נתון" בבעיות גאומטריות.
• על חלוקות (Περὶ Διαιρέσεων) שרד רק חלקית בתרגום ערבי, ועוסק בחלוקת צורות גאומטריות לשני חלקים שווים או יותר או לחלקים ביחסים נתונים. הוא כולל שלושים ושישה הצעות ודומה ל"חתכי חרוט" של אפולוניוס.
• האופטיקה (Ὀπτικά) היא החיבור היווני העתיק ביותר ששרד בנושא פרספקטיבה. הוא כולל דיון מבוא באופטיקה גאומטרית וכללים בסיסיים של פרספקטיבה.
• התופעה (Phaenomena – Φαινόμενα) הוא חיבור על אסטרונומיה ספרית, ששרד ביוונית; הוא דומה ל"על הכדור הנע" מאת אוטוליקוס מפיתאנה, שפעל בסביבות 310 לפנה"ס.

ארבע עבודות נוספות מיוחסות באופן מהימן לאוקלידס, אך אבדו.

• חתכי חרוט (Κωνικά) היה סקר בן ארבעה ספרים על חתכי חרוט, שהוחלף מאוחר יותר על ידי הטיפול המקיף יותר באותו שם של אפולוניוס. קיומה של העבודה ידוע בעיקר מפאפוס, שטוען כי ארבעת הספרים הראשונים של "חתכי חרוט" של אפולוניוס מבוססים במידה רבה על עבודתו המוקדמת יותר של אוקלידס. היסטוריון אלכסנדר ג'ונס הטיל ספק בטענה זו, בשל ראיות דלות וללא אישור אחר לתיאורו של פאפוס.
• פסאודריה (Ψευδάρια; מילולית: 'כשלים'), היה טקסט על נימוק גאומטרי, שנכתב כדי לייעץ למתחילים להימנע מכשלים נפוצים. מעט מאוד ידוע על תוכנו הספציפי מלבד היקפו וכמה שורות ששרדו.
• פוריזמים (Πορίσματα; מילולית: 'מסקנות') היה, בהתבסס על תיאורים של פאפוס ופרוקלוס, כנראה חיבור בן שלושה ספרים עם כ-200 הצעות. המונח 'פוריזם' בהקשר זה אינו מתייחס למסקנה, אלא ל"סוג שלישי של הצעה – משהו שבאמצע בין משפט לבעיה – שמטרתו לגלות תכונה של ישות גאומטרית קיימת, למשל, למצוא את מרכזו של מעגל". המתמטיקאי מישל שאסל שיער כי הצעות אבודות אלו כללו תוכן הקשור לתיאוריות המודרניות של טרנסוורסלים וגאומטריה פרויקטיבית.
• מקומות גאומטריים משטחיים (Τόποι πρὸς ἐπιφανείᾳ) הוא בעל תוכן כמעט בלתי ידוע, מלבד ספקולציות המבוססות על כותרת העבודה. השערות המבוססות על תיאורים מאוחרים יותר הציעו שהוא דן בחרוטים וגלילים, בין השאר.

מורשתו

אוקלידס לצד ארכימדס ואפולוניוס מפרגה נחשב מבין גדולי המתמטיקאים של העת העתיקה. פרשנים רבים מציינים אותו כאחת הדמויות המשפיעות ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה. המערכת הגאומטרית שנקבעה על ידי "היסודות" שלטה בתחום במשך זמן רב; עם זאת, כיום מערכת זו מכונה לעיתים קרובות 'הגאומטריה האוקלידית' כדי להבדיל אותה מגאומטריות לא-אוקלידיות אחרות שהתגלו בתחילת המאה ה-19. בין הדברים הרבים שנקראו על שמו של אוקלידס נמצאים גשושית אוקלידס של סוכנות החלל האירופית (ESA), מכתש הירח אוקלידס, וכוכב הלכת המינורי 4354 אוקלידס.

"היסודות" נחשב לעיתים קרובות אחרי התנ"ך כספר המתורגם, המפורסם והנלמד ביותר בהיסטוריה של העולם המערבי. יחד עם "המטאפיזיקה" של אריסטו, "היסודות" הוא אולי הטקסט היווני העתיק המצליח ביותר, והיה ספר הלימוד המתמטי הדומיננטי בעולמות הערבי והלטיני בימי הביניים.

המהדורה האנגלית הראשונה של "היסודות" פורסמה בשנת 1570 על ידי הנרי בילינגסלי וג'ון די. המתמטיקאי אוליבר ביירן פרסם גרסה ידועה של "היסודות" בשנת 1847 בשם "ששת הספרים הראשונים של יסודות אוקלידס שבהם נעשה שימוש בדיאגרמות וסמלים צבעוניים במקום אותיות לנוחות רבה יותר של הלומדים", שכללה דיאגרמות צבעוניות שנועדו להגביר את השפעתה הפדגוגית. דוד הילברט חיבר אקסיומטיזציה מודרנית של "היסודות". עדנה סנט וינסנט מיליי כתבה כי "אוקלידס לבדו הביט ביופי עירום".

אוקלידס, הדמות המסתורית מאלכסנדריה, הותיר אחריו מורשת שחורגת מעבר לעולם המתמטיקה. "היסודות" בנוסף להיותו אוסף של משפטים גאומטריים, הוא אבן הפינה של המחשבה הלוגית המערבית, המדגים כיצד ניתן לבנות מערכת ידע שלמה על בסיס כמה הנחות יסוד פשוטות. מהרעיון "אין דרך מלך לגאומטריה" ועד ליסודות האסטרונומיה הספרית, אוקלידס עיצב את האופן שבו אנו חושבים, בונים ומבינים את המרחב. האם אתם מוכנים להעמיק ולגלות עוד על ענקי העת העתיקה שהניחו את היסודות לעולמנו המודרני? הירשמו לניוזלטר שלנו עוד היום וקבלו ישירות לתיבת הדואר שלכם סיפורים נוספים, ניתוחים מעמיקים ועדכונים מרתקים על המתמטיקאים, הפילוסופים והאירועים ששינו את מהלך ההיסטוריה!