גריגורי פרלמן: המתמטיקאי שהוכיח את השערת פואנקרה

הוריו של גריגורי ״גרישה״ פרלמן הם יעקב פרלמן, מהנדס חשמל שעלה לאחר מכן לישרא וליובוב לבובנה, שהייתה מורה למתמטיקה במכללה טכנית. הם היו יהודים, עובדה שהציבה בפני בנם כמה בעיות במדינה שבה חששו שלצאצאי יהודים יש נאמנות חצויה. גריגורי, ילדם הראשון, למד לנגן בכינור בזכות אמו ומורה פרטי. גם לאביו הייתה השפעה משמעותית בפיתוח כישורי פתרון הבעיות של בנו.

הוא נתן לי לחשוב על בעיות לוגיקה ומתמטיקה אחרות.
הוא השיג לי הרבה ספרים לקרוא.
הוא לימד אותי לשחק שחמט.
הוא היה גאה בי.

גריגורי פרלמן על אביו, מתוך כתבה אודותיו בניו יורק טיימס, אוגוסט 2006.

אמו גם סייעה בפיתוח כישוריו המתמטיים ועד שהגיע לגיל עשר, הוא השתתף בתחרויות מתמטיקה מחוזיות והפגין כישרון בולט. ליובוב ביקשה ייעוץ כיצד לפתח בצורה הטובה ביותר את כישרונותיו המתמטיים של גרישה וייעצו לה לשלוח אותו למועדון מתמטיקה שנוהל על ידי מאמן בן תשע-עשרה בשם סרגיי רוקשין. המועדון נפגש פעמיים בשבוע בארמון החלוצים בעיר בתום יום הלימודים, ולרוקשין, סטודנט לתואר ראשון באוניברסיטת לנינגרד, היו דרכים מקוריות להפיק את המיטב מהנערים שהגיעו למועדון. רוקשין זיהה במהירות את הפוטנציאל של פרלמן, אף שבתחילה לא היה הרבה שהבדיל אותו מילדים מבריקים אחרים בקבוצה. נוצר קשר, הבנה, בין השניים, כשפרלמן הפך לתלמידו המועדף של רוקשין. בקיץ 1980 רוקשין לימד את פרלמן אנגלית כדי שיוכל להיכנס לבית הספר המיוחד למתמטיקה ופיזיקה מספר 239 בלנינגרד בספטמבר של אותה שנה. כדי לאפשר לפרלמן לקבל שיעורים אינטנסיביים אלה, שבהם למד תוך מספר שבועות את חומר האנגלית שנלמד בארבע שנות לימוד, משפחת פרלמן נאלצה להישאר בלנינגרד במהלך הקיץ במקום לנסוע לכפר, כפי שהיה נהוג. השיעורים התקיימו בשיטוט בפארקים של לנינגרד והשיגו בהצלחה את מטרתם.

הכיתה שבה למד פרלמן בבית ספר 239 הייתה יוצאת דופן בכך שקבוצת המתמטיקאים המוכשרים ביותר שאומנו על ידי רוקשין הוכנסה לאותה כיתה. בבית הספר, ולרי ריז'יק הפך גם למחנך הכיתה וגם למורה שלהם למתמטיקה. ריז'יק היה מורה למתמטיקה מחונן במיוחד, אך הכיתה שהכילה את אוסף גאוני המתמטיקה של רוקשין התגלתה כאתגר כמעט בלתי אפשרי עבורו. בנוסף למתמטיקה, ריז'יק ניהל מועדון שחמט באחד מערבי השבוע, שבו פרלמן השתתף והפגין כישרון ניכר במשחק. כשהיה בן 15, פרלמן השתתף במחנה הקיץ שנוהל על ידי רוקשין. זו הייתה הפעם הראשונה שבה שהה לילה מחוץ לבית אמו, אך הקשר בין רוקשין לפרלמן סייע במצב שעלול היה להיות קשה. רוקשין לא רק אימן את חניכיו להיות פותרי בעיות המתמטיקה הטובים ביותר, אלא גם ניסה להרחיב את תחומי העניין שלהם. פרלמן כבר התעניין בכינור ובמוזיקה קלאסית, אך פרלמן הצליח להרחיב את תחומי העניין המוזיקליים שלו. אף על פי שהיה משתתף במחנות עם רוקשין, פרלמן מעולם לא לקח חלק בטיולים שאורגנו על ידי ריז'יק.

בינואר 1982 נבחר פרלמן כחבר פוטנציאלי בנבחרת הסובייטית לאולימפיאדת המתמטיקה. הוא השתתף במפגש בחירה בצ'רנוגולובקה, כ-80 ק"מ צפונית למוסקבה, שם, בנוסף לאימונים המתמטיים, הם עברו תרגילים גופניים קשים בחדר הכושר. פרלמן הצטיין והשלב הבא היה מפגש בן יומיים באודסה באפריל, שם קיבלו בעיות קשות יותר מאלו שצפויות להיות בתחרות האולימפיאדה. פרלמן השיג ציון מלא, כפי שעשה בתחרות אולימפיאדת המתמטיקה הבינלאומית בבודפשט ביולי. הוא קיבל מדליית זהב ופרס מיוחד על השגת ציון מושלם. היותו חבר בנבחרת הסובייטית העניקה לפרלמן כניסה אוטומטית לאוניברסיטה.

פרלמן התקבל לאוניברסיטת לנינגרד בסתיו 1982. שם הושפע במיוחד מוויקטור זלגלר ומאלכסנדר אלכסנדרוב. במהלך שנות לימודיו לתואר ראשון, הוא סייע לרוקשין כמורה למתמטיקה, והשתתף במחנות קיץ, אך הסטנדרטים הגבוהים להפליא שלו יצרו קושי כמעט בלתי אפשרי אפילו עבור סטודנטים מצטיינים. בסופו של דבר רוקשין נאלץ להפסיק את סיועו של פרלמן במחנות הקיץ. עבודתו באוניברסיטה, לעומת זאת, הייתה יוצאת דופן, והוא סיים את לימודיו ב-1987. הוא כבר פרסם מספר מאמרים במתמטיקה וגיאומטריה.

אפשר היה לדמיין שהישגיו יגרמו לכך שהוא יתקבל כסטודנט לתואר שני בסניף הלנינגרדי של מכון סטקלוב למתמטיקה בזרועות פתוחות. עם זאת, תחת הנהגתו של איוואן וינוגרדוב, מכון סטקלוב לא קיבל יהודים ואף על פי שהיה לו כעת מנהל חדש, המדיניות הישנה נמשכה. אלכסנדר אלכסנדרוב כתב למנהל בבקשה לאפשר לפרלמן לבצע עבודת גמר בהנחייתו בסניף הלנינגרדי של מכון סטקלוב. הבקשה, שהייתה יוצאת דופן ביותר בהגיעה ממישהו במעמדו הרם של אלכסנדרוב, אושרה, אך למרות שאלכסנדרוב היה המנחה הרשמי שלו, בפועל היה זה יורי בוראגו שלקח על עצמו את התפקיד. פרלמן הגן על התזה שלו ״משטחי אוכף במרחבים אוקלידיים״ ב-1990 ופרסם גם על עקמומיות גאיוס ובעיות גיאומטריות שונות.

בוראגו יצר קשר עם מיכאל גרומוב, שהיה פרופסור באוניברסיטת לנינגרד ובאותה תקופה היה גם חבר קבוע במכון ללימודים גבוהים בפריז (Institut des Hautes Études Scientifiques, IHES). הוא הסביר לגרומוב שיש לו סטודנט מצטיין ושאל אם ניתן לשלוח לו הזמנה לבלות זמן מה ב-IHES. ההזמנה איפשרה לפרלמן לבלות מספר חודשים ב-IHES, כשהוא עובד עם גרומוב על ״מרחבי אלכסנדרוב״, מרחבים מטריים שנידונים בטיפולוגיה. המאמר הגדול הראשון של פרלמן, שנכתב בשיתוף עם בוראגו וגרומוב, היה ״מרחבי א. ד. אלכסנדרוב עם עקמומיות חסומה מלמטה״ (1992).

לאחר ביקורו ב-IHES ליד פריז, פרלמן חזר למכון סטקלוב למתמטיקה בלנינגרד, אך הודות לגרומוב, הוזמן פרלמן להרצות בארצות הברית בפסטיבל הגיאומטריה 1991 שנערך באוניברסיטת דיוק בדרם, צפון קרוליינה. הוא הרצה על העבודה שביצע על מרחבי אלכסנדרוב עם בוראגו וגרומוב (שטרם פורסמה אז). ב-1992 הוזמן פרלמן לבלות את סמסטר הסתיו במכון קוראנט (Courant) שבאוניברסיטת ניו יורק, במסגרת מלגת פוסט-דוקטורט ואת סמסטר אביב 1993 בסטוני ברוק, קמפוס של אוניברסיטת המדינה של ניו יורק, גם כן במימון מלגה.

כשפרלמן הגיע לארצות הברית, הוא היה בן עשרים ושש, כבר לא שמנמן אלא גבוה וככל הנראה בכושר.
זקנו עבר את שלב הציצה המביכה והיה עבה, שחור ושיחי. שערו היה ארוך.
הוא לא האמין בגזירת שיער או ציפורניים… [הוא לבש] את אותם בגדים כל יום – במיוחד ז'קט קורדרוי חום…
[הוא אכל] סוג מסוים של לחם שחור שניתן היה להשיג רק בחנות רוסית בברוקלין ביץ', אליה פרלמן הלך ברגל ממנהטן.

מתוך ״חידות פרלמן״, מאשה גֶסֶן

בזמן שפרלמן שהה בארצות הברית בשנת 1992, אמו התארחה אצל חברים בניו יורק, אביו עלה קודם לכן לישראל ואחותו הצעירה של פרלמן, לנה, עדיין למדה בסנט פטרבורג (אם כי בהמשך עברה לשוודיה). הוא הכיר את ג'ף צ'יגר וגאנג טיאן, ושלושתם נסעו באופן קבוע לפרינסטון כדי להשתתף בסמינרים במכון למחקר מתקדם. פרלמן השתתף בכנס בישראל ב-1993 ולאחר מכן קיבל מלגת מחקר מילר לשנתיים באוניברסיטת קליפורניה, ברקלי. הוא פרסם כמה מאמרים יוצאי דופן במהלך שנים אלה, כמו ״יסודות תיאוריית מורס על מרחבי אלכסנדרוב״ (1993) שחקר את המבנה הטופולוגי המקומי של מרחבי אלכסנדרוב.״ יריעות של עקמומיות ריצ'י חיובית עם נפח כמעט מקסימלי״ (1994) שפתר השערה על יריעת רימן שלמה $M^n$. אם ליריעה כזו יש עקמומיות ריצ'י $\geq n-1$ ונפח קרוב לזה של הספירה, פרלמן הוכיח שהיא הומאומורפית לספירה. פריצת הדרך הגדולה ביותר, לעומת זאת, הייתה דווקא במאמר שלו ״הוכחת השערת הנשמה של צ'יגר וגרומול״ (1994), שענה על שאלה שנשאלה על ידי צ'יגר וגרומול עשרים שנה קודם לכן. פרלמן הוזמן לנאום בפני הקונגרס הבינלאומי של מתמטיקאים בציריך ב-1994 והרצה על מרחבים עם עקמומיות חסומה מלמטה.

כשהיה עמית מילר בברקלי, פרלמן השתתף בכמה הרצאות נוספות של המילטון והחל להבין מדוע המילטון לא הצליח להתקדם עוד בהוכחת השערת פואנקרה באמצעות זרימת ריצ'י. בזמן שהותו בארצות הברית, פרלמן קיבל מספר בקשות להגיש מועמדות למשרות פרופסור. אלו הגיעו ממוסדות מובילים כמו סטנפורד ופרינסטון. הוצעה לו משרת פרופסור מלאה, ללא הגשת מועמדות כלשהי, על ידי אוניברסיטת תל אביב, אך הוא דחה את כל ההצעות וחזר לסניף הפטרבורגי של מכון סטקלוב למתמטיקה לאחר שמלגת מילר שלו הסתיימה בקיץ 1995. למעשה, הוא הצליח להתקיים מהחסכונות שצבר מהכסף ששולם לו בארצות הברית, שהיה ניכר למדי מכיוון שחי בצמצום יוצא דופן. הוא סירב לקבל פרס של החברה המתמטית האירופית ב-1996.

פרלמן הבין שהמילטון לא מתקדם בהשערת פואנקרה כשקרא מאמר שהמילטון פרסם ב-1995 ובשנה שלאחר מכן, הוא כתב להמילטון והסביר שאולי יש לו דרך לעקוף את הבעיה והציע לשתף פעולה עמו. כשלא קיבל תשובה, נראה כי פרלמן החליט לעבוד על פתרון השערת פואנקרה לבדו.

פרלמן, המתמטיקאי הידידותי-אך-ביישן, נראה כמו רספוטין, עם שיער וציפורניים ארוכים והיה נוהג לספר לחבריו שהוא נהנה לטייל ביערות סביב סנט פטרבורג ולחפש פטריות ונראה אדיש לחלוטין לעושר או להצלחה חומרית, כך לפי עמיתיו. פרלמן נעלם מהעין לאחר שחזר לרוסיה באמצע עד סוף שנות ה-90, ורבים מעמיתיו חשבו שהוא נטש את המתמטיקה לחלוטין.

"אתה מפריע לי. אני קוטף פטריות."

פרלמן לכתב שניסה לראיין אותו, 2010.

ואז ב-11 בנובמבר 2002, פרלמן העלה את מאמרו נוסחת האנטרופיה לזרימת ריצ'י ויישומיה הגיאומטריים לרשת. אף על פי שהוא לא טען במאמר שהוא יכול לפתור את השערת פואנקרה, מומחים בתחום כשקראו אותו הבינו שהוא השיג את פריצת הדרך הדרושה לפתרון ההשערה. עד מהרה קיבל הזמנות לבקר בקמפוס סטוני ברוק של אוניברסיטת המדינה של ניו יורק ובמכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס (MIT). הוא החל לתכנן את הביקורים ולפני שיצא לדרך, פרסם ברשת מאמר שני זרימת ריצ'י עם ניתוח על 3-יריעות שהמשיך את ההוכחה שלו. הוא הגיע לארצות הברית באפריל 2003 ונסע תחילה ל-MIT, שם נשא הרצאות על עבודתו במשך רוב הימים בשבועיים שבהם שהה שם. הוא בילה שבועיים דומים בסטוני ברוק ולאחר מכן ערך ביקורים באוניברסיטת קולומביה ובאוניברסיטת פרינסטון, שם נשא הרצאות. הוא דחה את כל הצעות הפרופסורה שהוצעו לו והתעצבן מהלחץ שחלקם הפעילו עליו כדי שיסכים.

הוא חזר לסנט פטרבורג בסוף אפריל 2003 וביולי העלה לרשת את ״זמן הכיליון הסופי עבור הפתרונות לזרימת ריצ'י על 3-יריעות מסוימות״, שהיה החלק השלישי בעבודתו. לקח זמן למומחים בתחום לשכנע את עצמם שפרלמן פתר את השערת פואנקרה וקצת יותר זמן לעבור על הפרטים כדי לראות שהוא פתר גם את השערת הגיאומטריזציה של ת'רסטון. הוא המשיך לעבוד במכון סטקלוב למתמטיקה בפטרבורג, שם קודם למעמד חוקר בכיר. עם זאת, בדצמבר 2005 הוא התפטר, באומרו שהוא מאוכזב מהמתמטיקה ורוצה לנסות משהו אחר. באוגוסט 2006 הוענקה לו מדליית פילדס ״על תרומותיו לגיאומטריה ועל תובנותיו המהפכניות במבנה האנליטי והגיאומטרי של זרימת ריצ'י״. ג'ון לוט תיאר את עבודתו של פרלמן שהובילה לזכייה במדליית פילדס בהרצאה שנשא בקונגרס הבינלאומי של מתמטיקאים בציריך באוגוסט 2006. הוא אמר שפרלמן "הציג הוכחות של השערת פואנקרה והשערת הגיאומטריזציה."

עבודתו של פרלמן הראתה שכל הנקודות הסינגולריות למעשה מצטמצמות לצורות פשוטות, כמו כדורים או צינורות, ושאם אפשר לעקוב אחר תהליך ריצ'י עד סופו, הצורה התלת-ממדית תצטמצם לכדור. הוא הוכיח את השערת פואנקרה, אך נדרשו עוד כמה שנים למתמטיקאים כדי לחפור בהוכחות המבריקות, המקוריות והטכניות ביותר ולאשר שהבעיה הטופולוגית הגדולה אכן נפתרה. ב-2006, המתמטיקאים ג'ון מורגן (John Morgan) וגאנג טיאן (Gang Tian) פרסמו מאמר בן 473 עמודים המראה שעבודתו של פרלמן, שנבנתה על זו של המילטון, אכן הוכיחה את ההשערה החמקמקה.

אבל פרלמן סירב להזמנה לדבר מליאה בקונגרס הבינלאומי של מתמטיקאים 2006. הוא גם סירב לקבל את מדליית פילדס והיה האדם הראשון שעשה זאת. אם תקוותו הייתה להימנע מפרסום, הוא נחל כישלון חרוץ, שכן נוצר עניין ציבורי עצום והוא נרדף על ידי העיתונות. במרץ 2010 הודיע מכון קליי למתמטיקה כי פרלמן עמד בתנאים לקבלת פרס מיליון דולר שהוצע על ידם עבור פתרון השערת פואנקרה. ביולי 2010 סירב פרלמן לקבל את מיליון הדולר, באומרו ״אני לא אוהב את ההחלטה שלהם, אני מחשיב אותה כבלתי הוגנת. אני מחשיב את תרומתו של המתמטיקאי האמריקאי המילטון לפתרון הבעיה כלא פחותה משלי.״

[לפרלמן] יש עקרונות מוסריים שהוא דבק בהם. וזה מפתיע אנשים.
לעתים קרובות הם אומרים שהוא מתנהג בצורה מוזרה מכיוון שהוא מתנהג ביושר,
באופן לא קונפורמיסטי, שאינו פופולרי בקהילה הזו – אף על פי שהוא אמור להיות הנורמה.

מיכאיל גרומוב