תאמל״ק לי
במחקר עדכני, מתמטיקאים מהאוניברסיטה החופשית של ברלין (Freie Universität Berlin) הוכיחו כי ריצוף מישורי, או טסלציה (tessellation), הוא הרבה יותר מדרך ליצור תבנית יפה. הטסלציה, המורכבת ממשטח המכוסה בצורה אחת או יותר ללא רווחים וללא חפיפות, יכולה לשמש גם ככלי מדויק לפתרון בעיות מתמטיות מורכבות.
היופי במתמטיקה: טסלציות ונוסחאות
זוהי אחת התגליות המרכזיות של המחקר, "יופי ב/של מתמטיקה: טסלציות והנוסחאות שלהן" ("Beauty in/of Mathematics: Tessellations and Their Formulas"), שנכתב על ידי היינריך בגֶהר (Heinrich Begehr) ודאג'יאנג ואנג (Dajiang Wang) ופורסם בכתב העת המדעי "ניתוח יישומי" (Applicable Analysis). המחקר משלב תוצאות מתחום האנליזה המרוכבת, התיאוריה של משוואות דיפרנציאליות חלקיות ותורת הפונקציות הגאומטרית.
מוקד מרכזי במחקר הוא "עקרון השיקוף-ריצוף" ("parqueting-reflection principle"). עיקרון זה מתייחס לשימוש בשיקופים חוזרים ונשנים של צורות גיאומטריות מעבר לקצוות שלהן כדי לרצף מישור, וכתוצאה מכך נוצרות תבניות סימטריות ביותר. דוגמאות אסתטיות לטסלציות מישוריות ניתן לראות בעבודתו של מ.צ. אשר. מעבר למשיכה הוויזואלית, לעיקרון יש יישומים באנליזה מתמטית. לדוגמה, כבסיס לפתרון בעיות ערך גבול קלאסיות כמו בעיית דיריכלה (Dirichlet problem) או בעיית נוימן (Neumann problem).
"המחקר שלנו מראה כי יופי במתמטיקה הוא לא רק מושג אסתטי, אלא משהו בעל עומק מבני ויעילות," אומר פרופסור בגֶהר. "בעוד שמחקר קודם על טסלציות התמקד בעיקר באופן שבו ניתן להשתמש בצורות כדי לרצף או לכסות משטח, לדוגמה, עבודה ידועה שבוצעה על ידי זוכה פרס נובל סר רוג'ר פנרוז, השימוש בשיטת השיקוף-ריצוף ליצירת טסלציות חדשות פותח אפשרויות חדשות… זהו כלי פרקטי לפיתוח דרכים לייצוג פונקציות בתוך אזורים מרוצפים אלה, מה שיכול להיות שימושי בתחומים כמו פיזיקה מתמטית והנדסה."
בפרט, ניתן להשתמש בו כדי לגזור נוסחאות ספציפיות לפונקציות גרעין (kernel functions), כולל גרעין גרין (Green), גרעין נוימן (Neumann) וגרעין שוורץ (Schwarz), שהם חלק מהכלים שניתן להשתמש בהם לפתרון בעיות ערך גבול בפיזיקה ובהנדסה. ככזה, עבודה זו יוצרת קשר אלגנטי בין אינטואיציה גיאומטרית לדיוק אנליטי. עקרון השיקוף-ריצוף צובר מוניטין כבר למעלה מעשור, והוא פופולרי במיוחד כנושא מחקר בקרב חוקרים בתחילת דרכם. מאז פיתוחו הראשוני, סך הכול חמש-עשרה עבודות דוקטורט ותזות גמר באוניברסיטה החופשית חקרו את הנושא, יחד עם שבע עבודות דוקטורט נוספות של חוקרים שונים.
יש לציין כי העיקרון פועל לא רק במרחב האוקלידי, אלא גם בגאומטריות היפרבוליות, הסוגים המשמשים בפיזיקה תיאורטית ובהדמיות מודרניות של מרחב-זמן. העניין בעיקרון נותר גבוה. בשנה שעברה פרסם בגֶהר מאמר, "טסלציה היפרבולית: פונקציית גרין הרמונית למשולש שווייקארט בגאומטריה היפרבולית" ("Hyperbolic Tessellation: Harmonic Green Function for a Schweikart Triangle in Hyperbolic Geometry"), בכתב העת Complex Variables and Elliptic Equations, שבו הדגים את השימוש בעקרון השיקוף-ריצוף לבניית פונקציית גרין הרמונית עבור משולש שווייקארט במישור ההיפרבולי. "אנו מקווים כי התוצאות שלנו יהדהדו לא רק במתמטיקה טהורה ובפיזיקה מתמטית," אומר ואנג, "אלא עשויים אפילו לעורר רעיונות בתחומים כמו אדריכלות או גרפיקה ממוחשבת."
מסורת הריצוף בברלין
במשך קרוב לשני עשורים, קבוצת המחקר בראשות בגֶהר במכון למתמטיקה של האוניברסיטה החופשית בברלין חקרה את מה שמכונה "ריצופי המראה של ברלין", שיטה המבוססת על עקרון השיקוף המאוחד שפותח על ידי המתמטיקאי הברלינאי הרמן אמאנדוס שוורץ (Hermann Amandus Schwarz) (1843–1921). בגישה זו, מצולע מעגלי, צורה שקצותיה מורכבים מחתיכות של קווים ישרים וקשתות מעגליות, משתקף שוב ושוב עד שכל המישור מרוצף בצורה חלקה ומושלמת, ללא כל חפיפות או רווחים. תבניות אלה אינן רק בולטות מבחינה ויזואלית אלא גם מאפשרות ייצוגים אינטגרלים מפורשים של פונקציות ככלי מפתח לפתרון בעיות ערך גבול מורכבות.
"בעבר, מתמטיקאים היו צריכים להשתמש במראת איפור תלת-חלקית כדי לייצר רצף אינסופי של תמונות," טוען בגֶהר. "כיום, אנו יכולים להשתמש בתוכנות מחשב חזרות כדי ליצור את אותה השפעה ואנו יכולים להשלים זאת עם נוסחאות מתמטיות מדויקות המשמשות באנליזה מרוכבת."
משולשי שווייקארט ויופי היפרבולי
בעוד שהן נחשבות מרשימות מאוד מבחינה אסתטית, טסלציות במרחבים היפרבוליים, לדוגמה, בתוך דיסקית מעגלית, מהוות אתגר מיוחד למתמטיקאים. כאן נכנסים לתמונה "משולשי שווייקארט" (Schweikart triangles): משולשים מיוחדים הכוללים זווית ישרה אחת ושתי זוויות אפס, הנקראים על שם המתמטיקאי החובב ופרופסור למשפטים פרדיננד קורט שווייקארט (Ferdinand Kurt Schweikart) (1780–1857). משולשים אלה מאפשרים ריצוף רגיל ומושלם של דיסקית מעגלית ומייצרים תבניות בעלות משיכה אסתטית המציעות השראה חדשה לאמני גרפיקה ממוחשבת ולאדריכלים כאחד. יחד עם זאת, המבנים המתמטיים הבסיסיים הם מורכבים ביותר ודורשים שיטות אנליטיות מתקדמות.
מתמטיקה כמדע חזותי
ממצאי הצוות מדגישים היבט של המתמטיקה שלעיתים קרובות מתעלמים ממנו: היא אינה רק דיסציפלינה מופשטת, אלא גם מדע חזותי, כזה שבו מבנה, סימטריה ואסתטיקה משחקים תפקיד מרכזי. כשתובנות אלה משולבות עם טכניקות הדמיה מודרניות, תוכנות גרפיקה וכלים דיגיטליים, הן הופכות לרלוונטיות עוד יותר.
