תאמל״ק ליבעידן שבו אלגוריתמים מסוגלים לפתור משוואות מורכבות ולהוכיח משפטים שבעבר דרשו שנים של מחקר אנושי, העולם המתמטי ניצב בפני שאלה חדשה ומטלטלת: מה מקומו של המתמטיקאי כשהמכונה יודעת כמעט הכל?
בכנס שעסק בעתיד המתמטיקה בעידן ההוכחות האוטומטיות העלה המתמטיקאי וזוכה מדליית פילדס אַקְשַׁי וֶנְקָטֵשׁ מחשבות חדות על הפער שנפער בין המעשה המתמטי לבין הערכים שמניעים אותו, והזכיר עד כמה ההבנה האנושית עדיין נמצאת בלב המקצוע גם כשהטכנולוגיה דוהרת קדימה.
בכנס הציג ונקטש את ההרצאה “איך אנחנו מדברים עם הסטודנטים שלנו על בינה מלאכותית?”. הוא ציטט דוא”ל שקיבל מסטודנט צעיר ששאל: “האם אתה מאמין ששווה ללמוד מתמטיקה בעולם שבו מכונה יכולה לענות לך על הכל? מה לדעתך יהיה ה’תפקיד’ של מתמטיקאי בעולם כזה?” ונקטש הציג את הבינה המלאכותית כהזדמנות לתקן מה שכינה “פער מהותי שנפתח בין הפרקטיקה של המתמטיקה לבין הערכים שלנו.”
המתמטיקאי ויליאם ת’רסטון ניסח ערכים אלו כשהדגיש כי “מתמטיקה אינה עוסקת במספרים, משוואות, חישובים או אלגוריתמים. היא עוסקת בהבנה.” אך ונקטש טען שהמצב בפועל רחוק מזה, והסתייג מכך ש”במאמר או הרצאה טיפוסיים, כמעט אף אחד מאיתנו לא באמת מבין אותם.” הוא לא היחיד שסבור שמשהו אינו תקין במצב המחקר המתמטי כיום.
האתגרים שבהסברת רעיונות מתמטיים לקהל הרחב מוכרים היטב. אך מה שמפתיע יותר את מי שנמצא מחוץ לתחום הוא עד כמה גם מתמטיקאים עצמם מבינים מעט זה את זה. במהלך העשורים האחרונים ידע התחום פריצות דרך מרשימות, חלקן קל להסביר, למשל גילוי צורה מסוג “איינשטיין” שיוצרת ריצוף לא סדור אינסופי של המישור או פתרון הבעיה בת 400 השנים של מציאת האריזה הצפופה ביותר של כדורים תלת ממדיים.
אך התפתחויות אחרות הפכו לבלתי מובנות כמעט לחלוטין למעט קומץ מצומצם של מומחים. ההתקדמות האחרונה בתוכנית לנגלנדס, חזון מאתגר שנועד לחבר בין תחומי מתמטיקה שנראים מרוחקים זה מזה, הובילה להתרחבות עצומה של מאגר הידע המתמטי העולמי. אך מטרות התוכנית, שהוצגו ב-1967 על ידי המתמטיקאי רוברט לנגלנדס, ידועות לשמצה כ”קשות להפליא לתיאור.” פתרון אחד היעדים בקיץ האחרון, הידוע בשם “השערת לנגלנדס הגאומטרית”, הופיע בסדרה של חמישה מאמרים בהיקף כולל של כמעט אלף עמודים. אך החגיגה סביב אבן דרך זו התמתנה כשעלה כמה אנשים באמת יכולים לטעון שהם מבינים משהו מזה.
נהוג לראות במתמטיקה “שפה אוניברסלית” ואכן קיימת בה מידה מרשימה של הסכמה רחבה. כאשר סטודנטים נכנסים לקהילה המתמטית במוסד אקדמי, הם לומדים לתקשר רעיונות מתמטיים בצורה יעילה ומדויקת. לאורך קורס שנתי באלגברה מופשטת מפתחים הסטודנטים שליטה באוצר מילים מוזר וחדש שבו מילים רגילות כמו קבוצות, חוגים ושדות מקבלות משמעות מקצועית חדשה.
הירשמו לניוזלטר ותקבלו את הכתבות המעניינות ביותר,
ישירות לתיבת הדואר שלכם!
מונחים מתמטיים אמנם בעלי משמעות ברורה, ובכפוף למספר סייגים מתמטיקאים שותפים לאותן אמונות בנוגע לאקסיומות לוגיות ומערכות היסק. לכן מחלוקות במתמטיקה נפתרות בדרך כלל במהירות ובאופן חד משמעי, אפילו במקרה של חידה קשה במיוחד כמו השערת abc.
אך ככל שהיקום המתמטי התרחב מעבר למספרים המוכרים ולצורות הגאומטריות הנלמדות לפני הלימודים האקדמיים, אין מפה אחת שמאפשרת להתמצא בו. מחקר מתמטי התפצל לרשימה הולכת וגדלה של תתי תחומים. סיווג נושאי המתמטיקה (Mathematics Subject Classification) מחלק את התחום ל-63 קטגוריות עיקריות שמתפצלות עוד ל-529 תתי-תחומים, שלכל אחד מהם שפה מקצועית פנימית משלו המשמשת להצגת והוכחת משפטים טכניים ודורשת שנים של למידה.
רמת התחכום של הוכחות מתמטיות מודרניות מתלווה למורכבות הגוברת של תאוריות מדעיות רבות, החל מהמודל הסטנדרטי בפיזיקת חלקיקים ועד רשתות רגולציה גנטית ומחזורי ביוגיאוכימיה. לכל תחום מדעי או טכני יש ז’רגון שמקשה על תקשורת עם מי שאינו מיומן בתחום.
אם מחקרים מצאו שהקריאוּת של טקסטים מדעיים יורדת עם הזמן, בהקשר של מתמטיקה קיימים אתגרי ייחודיים כאשר המושגים המופשטים אינם קשורים בהכרח לשום דבר בעולם הפיזי היומיומי. מחסור בניסיון אישי רלוונטי תורם לקושי להבין תחומים כמו תוכנית לנגלנדס, שבה אפילו מתמטיקאים מומחים מתחומים שונים מתקשים לא רק להבין את הפתרונות אלא אפילו לתפוס את השאלות שנשאלות.
דוגמה לכך ניתן למצוא בתחום המחקר הנקרא תורת הקטגוריות, שייצר אוצר מילים חדש ומקיף של מונחים טכניים שאפילו מי שמכיר אותם מתאר לפעמים כ”הבלים מופשטים.” המתמטיקאי והפיזיקאי המתמטי ג’ון בייאז התלוצץ שהמושגים בתחום כל כך מופשטים שגם הדוגמאות דורשות דוגמאות משלהן לפני שמגיעים למשהו שמתמטיקאי מחוץ לתחום עשוי לזהות. דוגמה מובהקת היא מושג בשם “טרנספורמציה טבעית,” בעל משמעות טכנית שנוסחה לראשונה בשנות הארבעים ושאת משמעותה ניתן להסביר, בקושי מסוים, למתמטיקאי אחר בערך בחצי שעה. אפשר לבנות דוגמאות לטרנספורמציות טבעיות באמצעות תוצאה טכנית הנקראת למת יונדה. אף שמעטים מצויים היטב במשפט יסוד זה, הוא כמעט לא מוכר לאיש מחוץ למעגל הצר הזה. עם מספיק זמן ותשומת לב מתמטיקאים יכולים לתווך מושגים טכניים זה לזה, אך התהליך איטי ומתסכל. קשה להסביר לְמה אנו מתכוונים כשאנחנו מדברים על “טבעיות” באמצע הרצאה שמטרתה לתאר מחקר חדש.
כשהוכחה מתמטית מוצגת במאמר מחקרי, נהוג להשתמש בגוף ראשון רבים “אנחנו,” שיטה לשונית שנפוצה הרבה קודם בטקסטים מתמטיים (עם דוגמאות רבות בכתבים בצרפתית ובגרמנית במאות ה-18 וה-19). למרות שהדבר נשמע נוקשה, הסביר זאת פול הלמוס במאמרו משנת 1970 “איך לכתוב מתמטיקה.” ה”אנחנו” מתייחס לקהל הקוראים ולמחברים גם יחד, משום שכדי להבין באמת טיעון מתמטי על הקוראים לשחזר אותו בעצמם בראש. במילים אחרות, התקשורת המתמטית מתקדמת בקצב של ההבנה המתמטית.
אז היכן מחפשים מתמטיקאים פתרונות לאתגרי התקשורת עם קהל עמיתים ועם הציבור הרחב? ייתכן שהושקעה יותר מדי אנרגיה בתגליות חדשות, גם אם הן אזוטריות ופחות מדי מאמץ בהבנת מה שכבר קיים.
ת’רסטון כתב במאמרו “על הוכחה והתקדמות במתמטיקה” כי “עלינו להשקיע הרבה יותר אנרגיה בהבנה ובהסבר התשתית המנטלית הבסיסית של המתמטיקה, ובכך פחות אנרגיה בתוצאות האחרונות.” ת’רסטון, כמו ונקטש, מתמקד בחוויה האנושית ומציע כי לצד הז’רגון הטכני דרושה גם שפה מתמטית חלופית שנועדה להעביר רעיונות לאנשים שאינם מכירים אותם.
אסטרטגיה אחת היא הרחבת ההזדמנויות להכשרה ותרגול בתקשורת. כנס Joint Mathematics Meetings, שייערך בוושינגטון בינואר 2026, יציג גרסה מחודשת של כנס מ-2022 על תקשורת מתמטית ויכלול סדנאות ופאנלים שיציעו כלים מעשיים לתקשורת עם מתמטיקאים אחרים, מקבלי החלטות, הציבור הרחב ואפילו ילדים.
ונקטש מסכם בהרצאתו על עתיד המתמטיקה בעולם של בינה מלאכותית מתקדמת: “אנחנו צריכים לשאול למה בכלל אנחנו מוכיחים דברים?” ת’רסטון ניסח זאת כך: תתקיים “שאיפה מתמשכת להבנה אנושית של הוכחה, בנוסף לידיעה שהמשפט נכון.” בתהליך קידום ההבנה האנושית של מתמטיקה, ההוכחה והמשפט הם אמצעי ולא מטרה. מה שחשוב באמת הוא כיצד האידיאלים המתמטיים מעשירים ומעצבים את הקשר של האדם עם העולם ואת נקודת מבטו עליו.
כך שגם אם בינה מלאכותית יכולה לומר לאנשים מה נכון, תמיד יהיה עוד מה להבין לגבי הסיבה.
