לפני יותר ממאה שנה, מתמטיקאי הודי צעיר ניסח נוסחאות מבריקות לחישוב המספר פאי. אז הן נראו כפסגת המתמטיקה הטהורה. היום, אותן נוסחאות בדיוק מתגלות בלב הפיזיקה המודרנית, מתיאור מערבולות בנוזלים ועד להבנת חורים שחורים. הסיפור של רמנוג’אן הוא תזכורת נדירה לכך שרעיונות שנולדים על הנייר יכולים, שנים אחר כך, להפוך למפתח להבנת חוקי היסוד של היקום.
בקצרה
הנוסחאות האלגנטיות של רמנוג'אן לחישוב פאי (π) שפותחו לפני למעלה ממאה שנה, צפו במפתיע מחדש בלב הפיזיקה המודרנית. חוקרים במכון ההודי למדע (IISc) גילו כי אותם מבנים מתמטיים העומדים בבסיס הנוסחאות הללו מתארים גם תופעות בעולם האמיתי כמו מערבולות (טורבולנציה), חלחול (פרקולציה) ואפילו חורים שחורים. מה שנראה בעבר כמתמטיקה טהורה, מתגלה כעת כשזור עמוק בחוקי הפיזיקה השולטים ביקום.
רוב האנשים נתקלים לראשונה במספר האי-רציונלי π – המקורב בדרך כלל כ-3.14 ומשתרע עד אינסוף ללא תבנית חוזרת – במהלך שיעורי גיאומטריה על מעגלים. בעשורים האחרונים, ההתקדמות במחשוב דחפה את הקבוע המוכר הזה הרחק מעבר לכותלי האקדמיה, כאשר מחשבי-על עוצמתיים מחשבים כיום את פאי עד לטריליוני ספרות אחרי הנקודה.
אבל כעת, חוקרים חשפו תפנית בלתי צפויה. פיזיקאים מהמרכז לפיזיקה של אנרגיות גבוהות (CHEP) במכון ההודי למדע (IISc) מדווחים שנוסחאות מתמטיות שפותחו לפני מאה שנה לחישוב פאי קשורות קשר הדוק לכמה מהרעיונות החשובים ביותר בפיזיקה היסודית כיום. קשרים אלו מופיעים בתיאורים תיאורטיים של חלחול, מערבולות נוזלים ואפילו מאפיינים מסוימים של חורים שחורים.
נוסחאות הפאי המופלאות של רמנוג'אן
בשנת 1914, זמן קצר לפני שעזב את מדראס לטובת קיימברידג', המתמטיקאי ההודי המפורסם סריניוואסה רמנוג'אן פרסם מאמר המציג 17 נוסחאות שונות לחישוב פאי. ביטויים אלו היו יעילים להפליא ואיפשרו לחשב את פאי במהירות רבה בהרבה מהטכניקות שהיו קיימות באותה עת. למרות שהכילו מספר קטן בלבד של איברים מתמטיים, הנוסחאות הניבו מספר מרשים של ספרות מדויקות.
השפעתן נותרה בעינה. השיטות של רמנוג'אן הפכו לבסיס עבור גישות מתמטיות וחישוביות מודרניות לחישוב פאי, כולל אלו המשמשות את המכונות המתקדמות ביותר כיום. "מדענים חישבו את פאי עד ל-200 טריליון ספרות באמצעות אלגוריתם שנקרא אלגוריתם צ'ודנובסקי", אומר אנינדה סינהא, פרופסור ב-CHEP והכותב הבכיר של המחקר. "האלגוריתמים הללו מבוססים למעשה על עבודתו של רמנוג'אן".
שאלה עמוקה יותר מאחורי המתמטיקה
עבור סינהא ופייזאן בהאט (הכותב הראשון של המחקר ותלמיד דוקטורט לשעבר ב-IISc), המסתורין חרג מעבר ליעילות חישובית. הם תהו מדוע נוסחאות כה עוצמתיות קיימות מלכתחילה. במקום להתייחס אליהן כאל תוצאות מופשטות גרידא, הצוות חיפש הסבר המעוגן בפיזיקה. "רצינו לראות האם נקודת המוצא של הנוסחאות שלו משתלבת באופן טבעי בפיזיקה כלשהי", אומר סינהא. "במילים אחרות, האם קיים עולם פיזי שבו המתמטיקה של רמנוג'אן מופיעה מעצמה?"
המקום בו פאי פוגש אי-נוואריאנטיות לקנה מידה וקצוות פיזיקליים
חקירתם הובילה אותם למשפחה רחבה של תיאוריות המכונות "תורות שדות קונפורמיות" (Conformal Field Theories) וספציפית לתורות שדות קונפורמיות לוגריתמיות. תיאוריות אלו מתארות מערכות המפגינות סימטריה של אי-נוואריאנטיות לקנה מידה – כלומר, הן נראות אותו הדבר ללא קשר לרמת הפירוט שבה בוחנים אותן, בדומה לפרקטלים.
| אי-נוואריאנטיות לקנה מידה (Scale Invariance) בדרך כלל בפיזיקה, הגודל קובע. אם נסתכל על גלים בים, הם נראים אחרת לגמרי מאשר אדוות קטנות בכוס מים. הכוחות הפועלים עליהם שונים והחוקים משתנים בהתאם לקנה המידה. אי-נוואריאנטיות לקנה מידה היא מצב מיוחד שבו מערכת נראית בדיוק אותו הדבר, לא משנה אם עושים עליה "זום-אין" או "זום-אאוט". הדוגמה הוויזואלית – פרקטלים: אם נסתכל על פרקטל (כמו פתית שלג של קוך או עלה של שרך), נראה שכל חלק קטן ממנו נראה כמו העלה כולו. אם נגדיל חלק קטן במיקרוסקופ, נקבל שוב את אותה הצורה בדיוק. הדוגמה הפיזיקלית – הנקודה הקריטית: בטמפרטורה ולחץ מסוימים, המים נמצאים במצב שהוא לא לגמרי נוזל ולא לגמרי גז, אלא ערבוב של שניהם. בנקודה הזו, בועות הגז בתוך הנוזל קיימות בכל הגדלים האפשריים, מבועות ענק ועד לרמה המולקולרית. אם נצלם את המערכת הזו, לא נוכל לדעת אם התמונה צולמה במיקרוסקופ או בעין בלתי מזוינת, כי המבנה חוזר על עצמו בכל קנה מידה. תורת שדות קונפורמית (Conformal Field Theory – CFT) זוהי מסגרת מתמטית עוצמתית המשמשת פיזיקאים לתיאור מערכות שיש להן את אותה ״אי-נוואריאנטיות לקנה מידה״, ועוד סימטריה נוספת שנקראת סימטריה קונפורמית. מה זה אומר "קונפורמי"? דמיינו רשת של משבצות על דף גומי. אם נמתח את הגומי לכל הכיוונים באופן שווה, זו אי-נוואריאנטיות לקנה מידה. אבל אם נעקם את הדף כך שהקווים הישרים יהפכו לעקומים, אבל הזוויות בין הקווים יישארו תמיד 90 מעלות זו טרנספורמציה קונפורמית. ששומרת על זוויות אבל משנה מרחקים. למה זה חשוב? מתברר שכשמערכת פיזיקלית היא קונפורמית, היא הופכת להיות "פשוטה" יותר לחישוב מתמטי. המתמטיקה של CFT מאפשרת לנו לנבא בדיוק מדהים איך חומרים יתנהגו במצבי קיצון (כמו בנקודה הקריטית). הקשר לחורים שחורים: כאן זה נהיה מעניין באמת. לפי "עיקרון ההולוגרפיה", פיזיקאים גילו שניתן לתאר את הפיזיקה המורכבת של כוח הכבידה בתוך חור שחור באמצעות תורת שדות קונפורמית (CFT) שחיה על "הקליפה" שלו. כלומר, המתמטיקה שמתארת איך מים רותחים בנקודה הקריטית, היא אותה מתמטיקה שעוזרת לנו להבין מה קורה בלב של חור שחור. מה רמנוג'אן גילה בעצם? החידוש הוא שרמנוג'אן, שעבד רק עם מספרים וטורים אינסופיים, מצא "קיצורי דרך" מתמטיים. הפיזיקאים ב-IISc גילו שהקיצורים האלו הם בדיוק הכלים שחסרו להם כדי לפתור את המשוואות הסבוכות של אותן תורות שדות קונפורמיות. במילים פשוטות: רמנוג'אן בנה את המפתח לפני מאה שנה, ורק עכשיו הפיזיקאים מצאו את המנעול שהוא פותח ביקום. |
דוגמה פיזיקלית מוכרת מופיעה בנקודה הקריטית של המים, המוגדרת על ידי טמפרטורה ולחץ מדויקים שבהם מים נוזליים ואדי מים הופכים לבלתי ניתנים להבחנה. בנקודה זו, המים מציגים סימטריה של אי-נוואריאנטיות לקנה מידה, וניתן לתאר את התנהגותם באמצעות תורת שדות קונפורמית. התנהגות קריטית דומה עולה בחלחול (האופן שבו חומרים מתפשטים דרך חומר אחר), במהלך היווצרות מערבולות בנוזלים, ובטיפולים תיאורטיים מסוימים בחורים שחורים. תופעות אלו נופלות תחת התחום של תורות שדות קונפורמיות לוגריתמיות.
שימוש במבנה של רמנוג'אן לפתרון בעיות בפיזיקה
החוקרים גילו זהמסגרת המתמטית העומדת בלב נוסחאות הפאי של רמנוג'אן מופיעה גם במשוואות העומדות בבסיסן של תורות שדות קונפורמיות לוגריתמיות אלו. על ידי ניצול המבנה המשותף הזה, הם הצליחו לחשב כמויות מפתח בתוך התיאוריות בצורה יעילה יותר. חישובים כאלו עשויים בסופו של דבר לשפר את הבנת המדענים לגבי תהליכים מורכבים כמו טורבולנציה וחלחול.
הגישה משקפת את שיטתו של רמנוג'אן עצמו: התחלה מביטוי מתמטי קומפקטי והגעה מהירה לתוצאות מדויקות עבור פאי. "בכל פיסת מתמטיקה יפה, כמעט תמיד תמצא שיש מערכת פיזיקלית שמשקפת אותה", אומר בהאט. "המוטיבציה של רמנוג'אן אולי הייתה מתמטית מאוד, אך ללא ידיעתו, הוא חקר גם חורים שחורים, מערבולות, חלחול וכל מיני דברים אחרים".
תובנה בת מאה שנה עם השפעה מודרנית
הממצאים חושפים שהנוסחאות של רמנוג'אן, שפותחו לפני יותר ממאה שנה, מציעות יתרון שהיה חבוי עד כה בהפיכת חישובים בפיזיקה מודרנית של אנרגיות גבוהות למהירים ונוחים יותר לניהול. מעבר לערכן הפרקטי, החוקרים אומרים כי העבודה מדגישה את טווח ההשפעה יוצא הדופן של רעיונותיו של רמנוג'אן. "פשוט הוקסמנו מהאופן שבו גאון שעבד בהודו של תחילת המאה ה-20, כמעט ללא מגע עם הפיזיקה המודרנית, חזה מבנים שהם כיום מרכזיים להבנתנו את היקום", מסכם סינהא.
המחקר החדש ממכון IISc מדגים כיצד מתמטיקה שנוצרה מתוך אינטואיציה וגאונות אישית הפכה, בדיעבד, לכלי מרכזי בפענוח המציאות הפיזיקלית. רמנוג’אן לא חישב רק את פאי בדיוק חסר תקדים, אלא סלל דרך להבנת תופעות קיצון ביקום, הרבה לפני שהפיזיקה הייתה מוכנה לכך. זהו סיפור על עומק, חיבורים מפתיעים והכוח של רעיונות גדולים לשרוד את הזמן ולחצות תחומים.
אם הסיפורים שמאחורי המדע, ההיסטוריה והאנשים ששינו את הדרך שבה אנו מבינים את העולם מרתקים אתכם, זה הזמן להמשיך ולצלול לעוד תכנים מעשירים באתר historyistold.com.
