תאמל״ק לימתמטיקאית מפינלנד הרחיבה משפט בן 40 שנה כך שיוכל לטפל במערכות בלתי חסומות המשמשות בפיזיקה מודרנית.
חוק מתמטי בן עשרות שנים נדחף אל מעבר למגבלותיו ארוכות השנים, ובכך פתח צוהר חדש לאופן שבו מדענים מתארים את העולם הפיזיקלי.
באוניברסיטת ואסה (Vaasa) שבפינלנד, המתמטיקאית יוסרה ברקאווי (Yosra Barkaoui) הצליחה להכליל משפט יסודי שנותר מוגבל למערכות "חסומות" במשך יותר מ-40 שנה. עבודת הדוקטורט שלה מרחיבה את משפט סבסטיין (Sebestyén’s theorem) אל התחום הבלתי חסום של שינוי בעל השלכות עמוקות על הפיזיקה התיאורטית והמתמטיקה המתקדמת.
משפט סבסטיין
כדי להבין את משפט סבסטיין (Sebestyén’s theorem) בלי להיכנס לנוסחאות מסובכות, כדאי לחשוב עליו כעל "מבחן התאמה" מתמטי.
דמיינו שיש לכם שתי מערכות נתונים או שני כוחות פיזיקליים, ואתם רוצים לדעת אם אפשר למצוא קשר מסוים ביניהם (בשפה המתמטית: "אופרטור" שמקשר ביניהם). משפט סבסטיין נותן תנאי הכרחי ומספיק (מעין רשימת צ'ק-ליסט) כדי לדעת האם הקשר הזה קיים. הוא קובע שאם מתקיים אי-שוויון מסוים בין הנתונים שלכם, אז מובטח לכם שקיים אופרטור ליניארי וחסום שמבצע את הפעולה הזו. במילים הכי פשוטות: זהו חוק שאומר למתמטיקאים: "אם המידע שלכם מתנהג בצורה X, סימן שקיים כלי מתמטי יציב שיכול לטפל בו".
המשפט פורסם ב־1983 על ידי המתמטיקאי ההונגרי זולטאן סבסטיין (Zoltán Sebestyén). בשנות ה-80, מתמטיקאים שעסקו ב"תורת האופרטורים" (התחום שחוקר איך פונקציות משנות פונקציות אחרות) חיפשו דרכים לפשט הוכחות מורכבות. סבסטיין הצליח לקחת בעיה שנראתה גדולה ומסורבלת ולצמצם אותה לבדיקה פשוטה של אי-שוויון.
במשך 40 שנה, המשפט עבד רק על מערכות "חסומות" – כלומר כאלו שיש להן גבול עליון ושהן לא "מתפוצצות" לאינסוף. זה כמו לבדוק חוקי תנועה של מכונית במגרש חנייה סגור. ברקאווי הצליחה לעשות את מה שנחשב לקשה מאוד: היא לקחה את ה"צ'ק-ליסט" של סבסטיין והוכיחה שהוא עובד גם במערכות בלתי חסומות. העולם האמיתי הוא בלתי חסום: בפיזיקה קוונטית, דברים כמו אנרגיה או תנע יכולים לגדול באופן תיאורטי ללא הגבלה. המערכות ה"חסומות" הישנות פשוט לא הספיקו כדי לתאר את המציאות הזו בצורה מדויקת.
אז אם פעם משפט סבסטיין היה הוראות הפעלה למכשירים קטנים (מערכות חסומות), היום, בזכות המחקר החדש, הוא הפך להוראות הפעלה לכוחות האדירים ביותר בפיזיקה (כמו אנרגיה גרעינית או תנועת חלקיקים תת-אטומיים).
אופרטורים בלתי חסומים הם מרכזיים בעולם הפיזיקה. הם משמשים לתיאור גדלים כגון אנרגיה קינטית, התנעה וזמן: ערכים שיכולים לגדול ללא הגבלה. עם זאת, עד כה, לכללים מתמטיים מרכזיים השולטים באופרטורים הללו היה חסר בסיס קפדני מעבר למקרים החסומים.
עבודתה של ברקאווי מתמקדת באופרטורים סגורים אי-שליליים – אובייקטים מתמטיים המדגמנים גדלים בעולם האמיתי שאינם יכולים לרדת מתחת לאפס. על ידי הרחבת משפט סבסטיין, שהוצג לראשונה ב־1983, היא סיפקה למתמטיקאים מסגרת שלמה יותר להבנת התנהגותם של אופרטורים אלו.
"משפט סבסטיין קיים מאז 1983, אך הוא נחקר רק במקרה החסום", אמרה ברקאווי. "זוהי הפעם הראשונה שהמשפט מורחב למקרה הבלתי חסום וליחסים ליניאריים."
במתמטיקה, לאופרטורים חסומים יש "גודל" סופי, או נורמה. קל יותר לשלוט במערכות אלו ולנתח אותן, וזו הסיבה שמרבית התיאוריה התמקדה בהן. לעומת זאת, אופרטורים בלתי חסומים יכולים לגדול לאין שיעור, מה שהופך אותם למורכבים הרבה יותר ולקשים לטיפול.
מחקרה של ברקאווי מראה כי כללים שפותחו עבור מערכות חסומות אינם חלים באופן אוטומטי על מערכות בלתי חסומות. עבודתה חושפת כי הנחות שנלקחו כמובנות מאליהן במשך זמן רב הועתקו בצורה שגויה.
"מודלים רבים בפיזיקה מבוססים על מערכות בלתי חסומות", הסבירה ברקאווי. "החידוש בעבודה שלנו הוא שמצאנו קשר בין שני סוגים של אי-שוויונות המתארים כיצד האופרטורים שבבסיס המודל מתייחסים זה לזה."
הקשר החדש שזוהה מסייע להסביר כיצד אופרטורים בלתי חסומים מתנהגים תחת אילוצים מתמטיים שונים, ומעניק בהירות בתחום שאתגר חוקרים במשך זמן רב.
למרות שהעבודה היא תיאורטית, היא מחזקת את היסודות עליהם נבנות המתמטיקה השימושית והפיזיקה, ובכך הופכת תגליות עתידיות למהימנות יותר. ברקאווי מדגישה כי ממצאיה אינם עוסקים ביישומים מיידיים, אלא במתן אפשרות לחקר עמוק יותר. "התוצאות שלנו נותנות למתמטיקאים את הכלים לעבוד בביטחון רב יותר עם אופרטורים בלתי חסומים", אמרה. "כאשר הבסיס התיאורטי ברור, קל יותר לחקור שאלות חדשות ולהגיע לתגליות נוספות."
עבודת הדוקטורט מציינת גם אבן דרך אישית. זהו התואר השלישי השני של ברקאווי במתמטיקה, לאחר הדוקטורט הראשון שלה שהושלם בתוניסיה. היא בחרה להמשיך לתואר דוקטור נוסף בעיקר כדי לעבוד תחת פיקוחו של פרופסור ספו האסי (Seppo Hassi) באוניברסיטת ואסה.
"זה היה חלום שלי לעבוד עם פרופסור האסי", אמרה ברקאווי. "אני באמת מעריצה אותו, הן כמתמטיקאי והן כאדם." היא תיארה את החוויה כמתגמלת הן מבחינה אינטלקטואלית והן מבחינה אישית, תוך שהיא מדגישה את התפקיד המכריע שממלאת החונכות במחקר מתקדם. "העבודה איתו הייתה עונג וזכות אמיתית, וההדרכה שלו הייתה משמעותית מאוד עבורי"
