קרני אור, חלקיקים ודמיון מתמטי: הסיפור המוקדם של מכניקת הקוואנטים

לפעמים הרעיונות הגדולים ביותר צצים כשאיש אחד מביט בעולם הפיזי דרך עדשה מוזרה של דמיון והקבלה. לפני שהמכניקה הקוואנטית הפכה למציאות, מישהו כבר ראה את הקשר הנסתר בין אור לחומר, כהבזק של תובנה שהעתיד רק יגלה במלואו.

המתמטיקאי והפיזיקאי האירי ויליאם רואן המילטון, שנולד באוגוסט 1805, מפורסם בכך שחרט גרפיטי מתמטי על גשר ברום בדבלין בשנת 1843.

אבל במהלך חייו, המוניטין של המילטון התבסס על עבודות שביצע בשנות ה-1820 והראשונות של שנות ה-1830, כשהיה עדיין בעשור השלישי לחייו. הוא פיתח כלים מתמטיים חדשים לחקר קרני אור (או “אופטיקה גיאומטרית”) ותנועת גופים (“מכניקה”).

באופן מרתק, המילטון פיתח את המכניקה שלו באמצעות אנלוגיה בין מסלול קרן אור לבין מסלול חלקיק חומר. זה לא מפתיע כל כך אם נחשוב על אור כחלקיק חומרי, כפי שהאמין אייזק ניוטון, אבל מה אם הוא היה גל? מה משמעות הדבר שהמשוואות של גלים וחלקיקים יהיו דומות באופן כלשהו?

התשובה הגיעה מאוחר יותר, מאה שנה אחרי, כאשר חלוצי מכניקת הקוואנטים הבינו שהגישה של המילטון הציעה יותר מאשר אנלוגיה בלבד: היא הייתה הצצה לטבע האמיתי של העולם הפיזי.

תעלומת האור

כדי להבין את מקומו של המילטון בסיפור הזה, עלינו לחזור מעט אחורה. עבור גופים או חלקיקים רגילים, החוקים הבסיסיים (או המשוואות) של התנועה פורסמו על ידי ניוטון ב־1687. במהלך 150 השנים הבאות, חוקרים כגון לאונרד אוילר, ז’וזף-לואי לגראנז’ ואחר כך המילטון פיתחו גרסאות גמישות ומתקדמות יותר של רעיונותיו של ניוטון.

“מכניקת המילטון” הוכיחה את עצמה ככה שימושית עד שלא היה עד 1925 – כמעט 100 שנה לאחר מכן -מישהו שעצר לבחון מחדש איך המילטון הסיק אותה. האנלוגיה שלו עם מסלולי אור עבדה ללא קשר לטבעו האמיתי של האור, אבל באותה תקופה היו ראיות טובות לכך שאור הוא גל. ב-1801, המדען הבריטי תומאס יאנג ביצע את ניסוי החריץ הכפול המפורסם שלו, שבו שתי קרני אור יצרו דפוס “התאבכות” הדומה לגלים החופפים על פני אגם כששתי אבנים נזרקות לתוכו. שישה עשורים מאוחר יותר, ג’יימס קלרק מקסוול הבין שאור מתנהג כגל מתפתל בשדה האלקטרומגנטי.

אלא שאז, ב־1905, אלברט איינשטיין הראה שחלק מתכונות האור ניתנות להסביר רק אם אור יכול גם להתנהג כזרם של חלקיקים, שנקראו מאוחר יותר “פוטונים”. הוא קשר רעיון זה להצעה של מקס פלאנק בשנת 1900, לפיה אטומים יכולים לפלוט או לספוג אנרגיה רק בכמויות בדידות.

אנרגיה, תדירות ומסה

במאמרו מ-1905 על האפקט הפוטואלקטרי, שבו אור מזיז אלקטרונים ממתכות מסוימות, השתמש איינשטיין בנוסחה של פלאנק עבור כמויות האנרגיה הללו (או קוואנטים): E = hν.

E היא כמות האנרגיה, ν היא תדירות הפוטון, ו-h הוא מספר שנקרא קבוע פלאנק. אבל במאמר אחר באותה שנה, הציג איינשטיין נוסחה אחרת לאנרגיה של חלקיק: גרסה של הנוסחה המפורסמת  E = mc². כאשר E היא שוב האנרגיה, m היא מסת החלקיק, ו-c היא מהירות האור.

כך היו שתי דרכים לחישוב אנרגיה: אחת, הקשורה לאור, התבססה על תדירות האור (כמות הקשורה לאוסילציות או גלים); השנייה, הקשורה לחלקיקי חומר, התבססה על מסה.

האם זה מרמז על קשר עמוק יותר בין חומר לאור?

רעיון זה נתפס שוב ב-1924 על ידי לואי דה ברולי, שהציע שחומר, כמו אור, יכול להתנהג גם כגל וגם כחלקיק. ניסויים שבאו אחר כך הוכיחו שהוא צדק, אך כבר היה ברור שחלקיקים קוואנטיים, כמו אלקטרונים ופרוטונים, פועלים לפי חוקים שונים מאוד מחפצים יומיומיים. נדרשה סוג חדש של מכניקה: “מכניקת הקוואנטים”.

משוואת הגל

שנת 1925 הביאה לא רק תאוריה אחת אלא שתיים. הראשונה הייתה “מכניקה מטריצית”, שניסח ורנר הייזנברג ופותחה על ידי מקס בורן, פול דיראק ואחרים. כמה חודשים לאחר מכן, ארווין שרדינגר התחיל לעבוד על “מכניקת גלים”, וזה מחזיר אותנו אל המילטון.

שרדינגר הופתע מהאנלוגיה של המילטון בין אופטיקה למכניקה. עם קפיצה של דמיון והרבה מחשבה זהירה, הוא הצליח לשלב את רעיונות דה ברולי עם משוואות המילטון בהקשר לחלקיק חומרי, וליצור “משוואת גל” עבור החלקיק.

משוואת גל רגילה מראה כיצד “פונקציית גל” משתנה בזמן ובמרחב. עבור גלי קול, למשל, משוואת הגל מראה את תזוזת האוויר בעקבות שינויים בלחץ במקומות שונים לאורך זמן. אבל עם פונקציית הגל של שרדינגר, לא היה ברור בדיוק מה מתנודד. למעשה, האם היא מייצגת גל פיזי או נוחות מתמטית בלבד, זה עדיין שנוי במחלוקת.

גלים וחלקיקים

למרות זאת, הדואליות גל-חלקיק היא בלב המכניקה הקוואנטית, שמרכיבה את הטכנולוגיה המודרנית שלנו – ממעבדים למחשבים, לייזרים ותקשורת סיב אופטי, מתאי שמש לסורקי MRI, מיקרוסקופים אלקטרוניים, השעונים האטומיים של GPS, ועוד הרבה.

למעשה, לא משנה מה מתנודד, משוואת שרדינגר יכולה לשמש לחיזוי מדויק של הסיכוי לצפות בחלקיק, כמו אלקטרון באטום, בזמן ומקום מסוימים. זו עוד תופעה מוזרה של העולם הקוואנטי: הוא הסתברותי, כך שאי אפשר לקבע אלקטרונים מתנדנדים מראש למיקום מוגדר, כפי שהמשוואות של הפיזיקה הקלאסית עושות עבור חלקיקים יומיומיים כמו כדורי קריקט ולוויינים.

משוואת הגל של שרדינגר אִפשרה את הניתוח המדויק הראשון של אטום מימן, שיש לו אלקטרון אחד בלבד. במיוחד, היא הסבירה מדוע אלקטרוני האטום יכולים להיות רק ברמות אנרגיה מסוימות (מוכוונות כמותית). לבסוף, הוכח כי גלי הקוואנטום של שרדינגר ומטריצות הקוואנטום של הייזנברג שקולים ברוב המקרים. גם הייזנברג השתמש במכניקת המילטון כמדריך.

כיום, משוואות קוואנטיות עדיין נכתבות לעיתים קרובות במונחים של האנרגיה הכוללת שלהן – כמות שנקראת “המילטונים”, על בסיס הביטוי של המילטון עבור אנרגיית מערכת מכנית. המילטון קיווה שהמכניקה שפיתח באמצעות אנלוגיה עם קרני אור תהיה ניתנת ליישום נרחב. אך בוודאי הוא לא דמיין עד כמה האנלוגיה שלו תהיה חזויה להבנתנו את העולם הקוואנטי.

הסיפור של המילטון מראה עד כמה תובנות מופשטות ומעין “פנטזיות מתמטיות” יכולות לחשוף את הסודות העמוקים של המציאות. מהשוואת קרני אור לחלקיקים ועד לגילוי הדואליות המדהימה של הגל והחלקיק, אנו מבינים שהמדע תמיד ממתין לנו עם הפתעות חדשות. אם גם אתם רוצים להבין את קסם הפיזיקה הקוואנטית ואת הקשרים הנסתרים בין אור לחומר, הצטרפו למסע הידע וקראו עוד כתבות מרתקות על חלוצי המדע והגילויים ששינו את עולמנו.